Presentiamo qui alcuni particolari problemi che si possono svolgere utilizzando la teoria degli insiemi, in particolare i diagrammi di Eulero – Venn e le operazioni con gli insiemi. Esempio 1.- In una classe di Liceo risulta che:
Determinare: Risoluzione Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertano indichiamo con T l’insieme degli alunni che praticano tennis, con N l’insieme degli alunni che praticano nuoto e con
$\displaystyle T\cap N$ l’insieme degli alunni che praticano sia nuoto che tennis.
Con i diagrammi di Eulero-Venn il problema si rappresenta così: Intendiamo che 12 è il numero degli elementi dell’insieme T – N, mentre 8 è il numero degli elementi
dell’insieme N – T. 1) Quanti sono gli alunni della classe? Risposta: 25. | $\displaystyle T\cup N$ | = | T | + | N | – | $\displaystyle T\cap N$ | = 17 + 13 – 5 = 25 2) Quanti sono gli alunni che non praticano nuoto? Risposta: 12. | T – N | = | T | – | | = 17 – 5 = 12 3) Quanti alunni praticano solo nuoto? Risposta: 8. | N – T | = | N | – | $\displaystyle T\cap N$ | = 13 – 5 = 8
Risoluzione Utilizziamo i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare il problema. Pertanto indichiamo con M l’insieme delle persone che hanno visitato Mosca, con P l’insieme delle persone che hanno visitato Praga e con B l’insieme delle persone che hanno visitato
Berlino. Rappresentiamo il problema con i diagrammi di Eulero-Venn nel seguente modo, ove si evidenziano i sottoinsiemi che intervengono nel problema: M, P, B ed M1 K, B1, Z, I, H, P1
…quindi… Esempio 3.- Ad una cena partecipano 90 persone. Finita
la cena, ognuno ordina qualcosa tra dolce caffè, frutta: 28 ordinano solo il dolce, 10 dolce e caffè, 19 dolce e frutta, 3 caffè, frutta e dolce. Risposta: a) 31; b) 16; c) 78; d) 40 Esempio 4.- In una stanza ci sono 7 uomini. Dieci persone sono castane di capelli, 10 persone hanno gli occhi scuri, 3 degli uomini sono castani, 4 degli uomini hanno capelli scuri, 5 persone hanno capelli castani e occhi scuri, solo un uomo dai capelli castani ha gli occhi
scuri. Risultato 2 donne Esempio 5.- Un comune effettua una indagine per conoscere le abitudini dei suoi cittadini. E’ emerso che, su 100 intervistati,, negli ultimie sei mesi:
Quanti intervistati non sono andati né a teatro, né al cinema, né hanno visitato mostre? Risoluzione La soluzione si stabilisce costruendo le seguenti due figure: Risultato: 5 Esempio 6.- Un pizzaiolo fa un sondaggio tra 350 clienti per stabilire quali pizze piacciono di più tra margherita, verdure e marinara. Ottiene i risultati seguenti Sapendo che tutti i clienti hanno espresso almeno una preferenza, calcola quante hanno dato la loro preferenza per solo margherita e marinara. Quale pizza ha raggiunto il maggior numero di preferenze ( 126 marinara) Esempio 7.- Un’indagine commerciale ha fornito i risultati seguenti relativi alle abitudini a colazione di un campione di 100 persone. Quante persone del campione mangiano solo biscotti? Quante persone non mangiano né biscotti né cereali? ( 42, 22) Quali sono le operazioni con gli insiemi?Le operazioni tra insiemi sono l'unione e l'intersezione.
L'unione tra due insiemi è un nuovo insieme che contiene tutti gli elementi degli insiemi iniziali, ovviamente senza ripetizioni. Si dice quindi che l'insieme unione contiene gli elementi del primo o del secondo insieme di cui facciamo l'unione.
Cosa sono gli insiemi prima elementare?Un insieme è un raggruppamento di elementi aventi una caratteristica comune, che sia individuabile con un criterio oggettivo.
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