Come si calcola il volume del cubo

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Il problema può essere risolto applicando la formula $V = {L}^{3}$

Il cubo è un solido avente per base un quadrato, l'area del quadrato si calcola come $A = {L}^{2}$, moltiplicando la stessa per l'altezza del cubo (coincidente con lo spigolo) otteniamo il volume.

Come esercizio aggiuntivo troveremo anche la diagonale del cubo.

Oggi vediamo il volume del cubo e diversi modi per ricavarlo a seconda dei dati iniziali.

In questa lezione ci concentreremo sul calcolo del volume del cubo partendo da diverse informazioni iniziali (ad esempio conoscendo un lato, l’area di una faccia ecc.), dando per scontato tutte le altre formule riguardanti questo solido.
Ricordiamo prima di tutto, però, come è definito. Il cubo è un solido formato da:

• 8 vertici;
• 12 spigoli, tutti congruenti tra loro;
• 6 facce, che sono tutte dei quadrati aventi lo stesso lato;

Volume del cubo

Per trovare il volume del cubo ci serve la misura di un suo spigolo. Andiamo a vedere qual è la sua formula, conoscendo questo dato.
Sia \(Q\) un cubo di spigolo \(l\), allora il suo volume \(V (Q)\) è uguale a:

$$V(Q)=l\cdot l\cdot l=l^3$$

Notiamo che possiamo riscrivere questa formula anche in questo modo:

$$V(Q)=l^2\cdot l=l^3$$

dove \(l^2\) è la superficie di una faccia del cubo, cioè l’area di un quadrato di lato \(l\)! Possiamo prendere, poiché tutte le facce sono equivalenti, la base del cubo come faccia in questione. Quindi chiamando \(S_b\) la superficie di base abbiamo:

$$V(Q)= S_b \cdot l$$

Qui possiamo vedere che la formula è, praticamente, uguale a quella del volume di un parallelepipedo rettangolo. Non è un caso, infatti il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo con altezza \(l\).

Esempio

• Sia Q un cubo avente spigolo uguale a \(5 cm\), calcolare il volume del cubo Q.
  Svolg. Il volume del cubo sarà:

  $$V(Q)=l^3=(5\>cm)^3=125\>cm^3$$

  
  oppure

  $$S_b=l^2=(5\>cm)^2=25\>cm^2$$

  $$V(Q)= S_b\cdot l=25\>cm^2\cdot5\>cm^2=125\>cm^3$$

Volume del cubo conoscendo la superficie totale
Stavolta il dato che conosciamo è la superficie totale e la indichiamo con \(S_T\). Ricordiamo che la formula per calcolare la superficie totale:

$$S_T=6\cdot S_b$$

con \(S_b\) la superficie della base del cubo (o di una faccia qualunque per quanto detto prima). Quindi, da questa relazione, possiamo ricavare agilmente la superficie di base:

$$S_b=\frac{S_T}{6}$$

Ora conosciamo \(S_b\) e possiamo ricavare lo spigolo del cubo \(l\) con:

$$l=\sqrt{S_b}$$

ovvero

$$l=\sqrt{S_b}=\sqrt{\frac{S_T}{6}}$$

da qui possiamo usare la formula del volume del cubo.
NOTA!!
Se conosciamo la superficie laterale, la formula diventa:

$$l=\sqrt{\frac{S_T}{4}}$$

Oppure se conosciamo la somma delle superfici di 3 facce \(3\cdot S_b\)

$$l=\sqrt{\frac{S_T}{3}}$$

e così via….

Esempio

• Sia Q un cubo avente superficie totale uguale a \(54 cm^2\), calcolare il volume del cubo Q.
  Svolg.Usando la formula troviamo lo spigolo:

  $$l=\sqrt{\frac{S_T}{6}}=\sqrt{\frac{54\>cm^2}{6}}=3\>cm$$

  
  e quindi il suo volume è:

  $$V(Q)=(3\>cm)^3=27\>cm^3$$

Volume del cubo conoscendo la diagonale del cubo
Sia \(D\) la diagonale del cubo. Sappiamo che possiamo ricavarla dal teorema di Pitagora conoscendo la diagonale \(d\) di una sua faccia e lo spigolo ad essa perpendicolare. Infatti è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti la diagonale della faccia e lo spigolo:

$$D=\sqrt{d^2+l^2}$$

sempre per il teorema di Pitagora, sappiamo calcolare la diagonale di un quadrato (della sua faccia!) \(d\) conoscendo un lato \(l\):

$$d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2\cdot l^2}$$

e sostituendo alla prima formula:

$$D=\sqrt{d^2+l^2}=\sqrt{(\sqrt{2\cdot l^2})^2+l^2}=\sqrt{2\cdot l^2+l^2}=l\cdot \sqrt{3}$$

e da qui:

$$l=\frac{D}{\sqrt{3}}$$

e basta usare la formula del volume del cubo.

Esempio

• Calcolare il volume del cubo Q sapendo che la sua diagonale è \(4\cdot\sqrt3 cm\).
  Svolg.Usiamo la formula…

  $$l=\frac{D}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot \sqrt{3}\>cm}{\sqrt{3}}=4$$

  
  e quindi il suo volume è:

  $$V(Q)=(4\>cm)^3=64\>cm^3$$

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